Calculer l’aire d’un cercle

Formule : [π ]× [Rayon]² = [Résultat]

Définition d’un cercle

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Pour une raison ou une autre, vous avez besoin de faire le calcul de l’aire d’un cercle. Il est fort possible que vous ayez oublié ce qu’on vous a appris dans les classes antérieures. Mais, il est aussi possible que vous ne savez tout simplement pas comment le faire. Ne vous inquiétez pas ! Vous pouvez utiliser notre calculateur et obtenir une réponse immédiate. Toutefois, nous allons quand même vous dire long sur ce sujet dans cet article. De cette manière, vous ne verrez plus le calcul de l’aire d’un cercle comme un grand problème puisque vous saurez comment vous devez vous y prendre.

Définition du cercle

Avant toutes choses, il est indispensable que vous connaissiez ce qu’est un cercle. En se basant sur la géométrie euclidienne, on peut le définir comme étant une courbe plane fermée qui est constituée par une infinité de points se trouvant à distance égale d’un point. Ce dernier est ce qu’on appelle le « centre du cercle » (noté O).

Définition du rayon

Un cercle doit, ensuite, avoir un rayon. Par définition, c’est un segment qui relie deux points dont l’une des extrémités est le centre et l’autre est un point quelconque du cercle. En partant du fait que le cercle est formé d’une quantité infinie de points, on peut déduire que le nombre de rayons d’un cercle est aussi indéfini. Par contre, la valeur des rayons d’un cercle reste toujours la même. En général, le rayon d’un cercle est noté « r ».

Définition du diamètre

Le diamètre, quant à lui, est un segment qui relie deux points du cercle et qui passe par le centre O. Par conséquent, la longueur d’un diamètre est toujours égale au double de celle du rayon. De la même manière qu’un cercle est constitué de plusieurs rayons, il est aussi constitué de plusieurs diamètres qui ont tous la même longueur.

Définition de la circonférence

On appelle circonférence la ligne courbe fermée qui constitue le cercle en lui-même. Elle est souvent notée par la lettre C. Chaque point qui constitue la circonférence doit alors se trouver à une même distance que le centre O. C’est alors le terme utilisé pour définir le périmètre du cercle. Toutefois, le terme périmètre n’est pas adapté pour désigner le contour de cette figure géométrique pour la simple et bonne raison qu’on ne peut pas le mesurer à l’aide d’une règle. Cela n’est possible que si on déroule la déroule.

Comment calculer l’aire d’un cercle ?

On apprend aux élèves de la classe primaire ou aux collégiens une base classique qui permet de calculer simplement l’aire d’un cercle. Pour ce faire, on leur fournit la formule classique dont l’aire d’un cercle (noté A) est égale à la constante mathématique pi (noté π) multipliée par la valeur au carré du rayon (r). On obtient alors : A = πr². C’est la formule de base sur laquelle sont fondées toutes les autres méthodes de calcul de l’aire d’un cercle. En effet, il est possible de l’obtenir à partir de quatre méthodes différentes. Nous allons vous présenter ci-dessous tous les détails de ces méthodes.

À savoir :

Il est à noter que l’aire d’un cercle doit toujours être exprimée en mètre carré (m²).
Bien entendu, on peut utiliser ses multiples et ses sous-multiples tels que le centimètre carré (cm²), le décimètre carré (dm²), etc.

1 – Calculer l’aire du cercle à partir de son rayon

On peut dire qu’il s’agit de la formule la plus simple qui permet de connaître la valeur de l’aire d’un cercle. En effet, il suffit juste d’utiliser la formule de base citée précédemment : A = πr². L’opération pourrait alors se faire en quatre étapes.

1^ère étape :

En premier lieu, il faut connaître la mesure du rayon. Il est possible de la mesurer à l’aide d’une règle si le centre O est indiqué sur le schéma. Dans le cas contraire, sa valeur est généralement communiquée. Afin d’avoir une idée plus concrète concernant l’opération à effectuer, nous allons prendre un exemple bien défini. Pour ce faire, nous allons travailler sur un cercle dont le rayon est égal à 6cm.

2^ème étape :

Il va ensuite falloir déterminer la valeur du rayon au carré puisqu’il ne faut pas oublier que le calcul est base sur la formule A = πr². En effet, on ne pourra jamais obtenir une valeur en unité de mesure carrée. Il s’agit donc d’une étape cruciale dans l’opération. Dans notre exemple donc, la valeur de r² est égale à 36 puisque le rayon est de 6cm.

3^ème étape :

Ceci-fait, il va maintenant falloir travailler avec le nombre pi (noté par la lettre grecque équivalent « π »). Pour certains puristes qui n’aiment pas travailler sur des valeurs approchées, la valeur de l’aire du cercle est définie par sa valeur exacte en laissant π telle qu’il est. L’aire du cercle de notre exemple serait alors de 36 π, si on adopte ce principe. « Pi » est composé d’une quantité infinie de nombres décimaux. Dans la généralité des cas donc, on utilise sa valeur approchée qui est de 3,14. Pour notre cercle de 6cm de rayon donc, l’aire serait égale à :

A = π r²
A= π x 6²
A = 36 π
A = 36 x 3,14
A = 113,04

4^ème étape :

Pour finir, il ne faut jamais oublier de donner la valeur complète de l’aire avec son unité de mesure. Il s’agit de l’unité de mesure carrée. Il faut également vérifier que l’unité utilisée est la bonne. En d’autres termes, l’aire du cercle doit être exprimée en mètre carré sur le rayon est en mètre, en centimètre carré si le rayon est exprimé en centimètre et ainsi de suite. En reprenant notre exemple donc, l’aire du cercle est de 36 π cm² ou 113,04 cm².

2 – Calculer l’aire d’un cercle à partir de son diamètre

Lorsque vous êtes dans l’obligation de trouver la valeur de l’aire d’un cercle, vous n’avez pas forcément la mesure du rayon. En effet, il est tout à fait possible que vous ne disposiez que de la mesure de son diamètre. Pour ce faire, il va falloir que vous meniez votre opération d’une autre manière. Le calcul se déroulera donc en trois ou quatre étapes.

1ère étape :

Comme pour la première méthode, il est nécessaire de définir la mesure du diamètre avant de pouvoir commencer à faire le calcul. De la même manière que le rayon, cette dernière est généralement communiquée.

Mais, il est aussi possible de la mesurer à l’aide d’une règle lorsque le centre O est indiqué sur le schéma. Sauf que, il serait plus simple de travailler sur le rayon dans cette figure de cas. Pour illustrer cette deuxième méthode donc, nous allons travailler sur un exemple dont le diamètre du cercle est de 20 cm.

2ème étape :

Dans cette deuxième étape, il est possible de mener l’opération de deux manières différentes : soit en calcul d’abord le rayon du cercle, soit en applique directement une formule toute faite.

Poursuivre le calcul en passant par le rayon

Pour ce faire, il serait encore nécessaire de déterminer la valeur du rayon. Le diamètre est, par définition, le double du rayon. Lorsqu’on a le diamètre donc, il suffit de diviser le nombre par deux. Dans notre exemple donc, le rayon du cercle est égal à :

r = D :2
r = 20 : 2
r = 10

Puisqu’on a maintenant la mesure du rayon, il est possible de faire le calcul à partir de la formule de base. L’opération se déroulera donc de la même façon que la méthode qui a été précédemment expliquée :

A = π r²
A = π 10²
A = 100 π ou A = 100 x 3,14
A = 314

Poursuivre le calcul en utilisant directement le diamètre

Il est également possible de simplifier l’opération en allant droit au but. Pour ce faire, on peut directement appliquer la formule toute faite avec le diamètre. L’aire d’un cercle est alors égale à π multiplié par le diamètre au carré, le tout divisé par quatre. Ce qui nous donne : A= π D² : 4.

Dans notre exemple donc, nous obtenons le calcul suivant :

A= π D² : 4
A= π 20² : 4
A = π 400 : 4

Ce qui nous donne le même résultat que le précédent

A = 100 π ou A = 100 x 3,14
A = 314

3ème étape :

Il ne nous reste plus qu’à nous assurer que la réponse soit exacte en n’oubliant pas d’ajouter l’unité de mesure. Comme avec la première méthode, il faut toujours bien vérifier qu’on a bien utilisé la bonne unité de mesure. Dans notre exemple, le diamètre est exprimé en centimètre. Par conséquent, il faut que l’aire du cercle soit exprimée en centimètre carré. Le résultat final serait alors :

A = 100 π cm² ou A = 314 cm²

3 – Calculer l’aire d’un cercle à partir de sa circonférence

Nous pouvons travailler sur toutes sortes d’objets circulaires dans la vie de tous les jours (poêle, pizza, etc.).

Si jamais nous devons calculer son aire pour des raisons quelconques, il serait assez compliqué de mesurer son diamètre ou son rayon. En effet, le centre » O » n’est pas toujours indiqué sur ces objets. Dans ce type de situation, il serait alors plus commode de prendre la mesure de la circonférence de l’objet circulaire à l’aide d’un mètre ruban de couturière souple par exemple.

Voici alors les différentes étapes de l’opération à faire lorsqu’on doit travailler à partir de la mesure de la circonférence du cercle.

1ère étape :

Pour que le calcul soit possible, il faut toujours commencer par la détermination de la mesure sur lequel il sera basé. Si jamais la mesure n’est pas donnée, il est possible de prendre la mesure de la circonférence de l’objet concerné en utilisant la technique astucieuse citée précédemment. Dans notre exemple donc, nous allons supposer que la circonférence du cercle sur lequel se portera notre calcul est de 42 cm.

2ème étape :

Maintenant, il est possible de choisir entre deux méthodes différentes. La première consiste à faire le calcul en partant de la formule de base et la seconde, quant à elle, consiste à faire directement le calcul à partir d’une formule toute faite.

Poursuivre le calcul en partant de la formule de base

Pour rappel, la formule de base est A = π r². Or, nous n’avons pas la valeur de r. Nous avons tout simplement la circonférence. Pour ce faire, il va falloir déduire la valeur de r à partir de la donnée dont nous disposons. On devra alors effectuer deux opérations avant d’arriver au résultat final.

Premier mode opératoire

Pour obtenir la circonférence d’un cercle, on multiplie le nombre pi par la mesure du diamètre. On obtient alors la formule C = π d. D’autres parts, nous savons que le diamètre est égal au double du rayon : d= 2r. La combinaison de ces deux formules nous donne alors : C = 2 π r. Lorsqu’on exprime le rayon à partir de la circonférence et de pi, on a :

C = π 2r
r = C : 2 π

On peut d’ores et déjà poursuivre l’opération avec la formule de base A = π r²

Second mode opératoire

On procède par la suite par la modification de la formule de base de l’aire d’un cercle. Donc, on peut exprimer la valeur A à partir de la circonférence. Pour ce faire, on exprime « r » par la formule que nous avons trouvée précédemment. D’où on a :

La formule de départ est : A = π r²

Lorsqu’on remplace « r » par son expression, on obtient : A = π (C :2 π )²

On élève toute la fraction au carré : A = π (C² : 4 π ²)

On simplifie par pi le numérateur et le dénominateur pour que la formule soit plus facile à lire : A = C² : 4pi

Avec notre exemple, on a :

A = 42² : 4 π
A = 1764 : 4 π
A = 441 : π ou A = 140,44

Poursuivre le calcul en utilisant la formule toute faite

Il est aussi possible de poursuivre le calcul sans qu’on ait besoin d’inclure le nombre pi dans la formule. Pour ce faire, on utilise la formule toute faite : A = (C x r :2)

3ème étape :

Cette méthode ne fait pas exception à la règle, qui consiste à conclure l’opération en donnant une un résultat complet. Autrement dit, la valeur obtenue doit être accompagnée de l’unité de mesure appropriée.

Pour notre cercle qui a une circonférence de 42 cm donc, l’aire est égale à 140,44 cm².

4 – Calculer l’aire d’un cercle à partir de l’aire d’un secteur du cercle

On peut dire que toutes les mesures qui peuvent constituer un cercle peuvent être exploitées si on veut calculer la valeur exacte de l’aire d’un cercle.

En effet, il est même possible qu’on nous demande de le calculer en ayant juste quelques informations sur un secteur du cercle. Il est alors important qu’on soit bien attentif sur tous les éléments qui pourront nous être utiles.

Il faudra alors passer par quatre étapes pour calculer l’aire d’un cercle à partir de l’aire d’un secteur.

Qu’est-ce qu’un secteur d’un cercle ?

Avant d’entrer dans les détails du calcul, il faut tout d’abord que l’on connaisse ce qu’est le secteur du cercle, également appelé secteur circulaire. Il s’agit en fait d’une partie d’un cercle qui est limitée par une portion de la circonférence et deux rayons. Autrement dit, l’espace qui est délimité par ces trois éléments est ce qu’on appelle « le secteur ». Maintenant que c’est clair, on peut commencer à faire le calcul. Dans notre exemple, nous allons travailler avec un secteur de cercle dont l’aire est égale à 40 cm²

1ère étape :

Certes, on a déjà l’aire d’un secteur du cercle. Pourtant, cette donnée n’est pas suffisante pour qu’on puisse calculer l’aire totale du cercle. Il va donc encore falloir qu’on dispose d’autres éléments. En effet, cette valeur est parfois accompagnée par l’angle qui est formé par les deux rayons limites du secteur. Mais, il est aussi possible qu’on fournit un schéma à l’appui. Dans ce cas, il sera nécessaire de mesurer l’angle en se munissant d’un rapporteur.[/su_service]

À savoir :

Lorsqu’on dessine un secteur circulaire, on n’en dessine pas qu’un seul. On en dessine deux. Le premier est représenté avec un angle droit ou un angle aigu et le second est représenté avec un angle obtus. L’aire de ce dernier est alors plus importante. La somme de ces deux angles doit faire 360°. Puis, la somme des deux aires nous donne l’aire du cercle en entier.

Nous allons prendre en exemple un secteur de cercle de 45° et dont l’aire est égale à 40 cm².

2ème étape :

Il est inutile de chercher midi à quatorze heures pour faire le calcul. En effet, il existe une formule déjà toute faite qui permet de calculer simplement l’aire totale du cercle à partir de ces deux types de données.[/su_service]

A_totale = A_secteur (360 : α)
A_totale désigne l’aire du cercle en entier
A_secteur désigne l’aire du secteur donné
Α désigne l’angle du secteur

3ème étape :

Il ne reste plus alors qu’à faire le calcul. Mais avant, on doit remplacer toutes les valeurs littérales par les valeurs numériques dont on dispose. Avec notre exemple, on obtient alors l’opération suivante :[/su_service]

A_totale = A_secteur (360 : α)
A_totale = 40 (360 : α)
A_totale = 40 (360 : 45)
A_totale = 40 (8)
A_totale = 320

4ème étape :

On peut alors en déduire que l’aire du secteur sur lequel on a travaillé représente un huitième de l’aire du cercle en entier. Et puisque l’aire du secteur a été exprimée en centimètre carré, il va falloir aussi faire de même avec la surface totale du cercle qu’on vient de calculer. L’aire totale est donc égale à 320 cm² (A_totale = 320 cm²).[/su_service]

Pourquoi utiliser un calculateur d’aire ?

Désormais, le calcul de l’aire d’un cercle n’a plus aucun secret pour vous. Vous vous demandez alors la raison pour laquelle vous pourrez avoir besoin de notre calculateur. En fait, nous vous proposons cet outil entièrement gratuit pour que vous puissiez avoir des résultats dans l’immédiat.

Effectivement, vous n’avez pas toujours du temps à consacrer pour réaliser de longs calculs. Sinon, vous pouvez aussi utiliser le calculateur afin de vérifier la véracité du résultat de votre opération. Après tout, on n’est jamais entièrement à l’abri des petites erreurs de calcul.