Parmi les disciplines les plus antiques au monde, les mathématiques. Elles ont vu la lumière en 2000 ans avant Jésus christ. Des savants mathématiciens très connus ? On parle de Pythagore et Thalès. Les mathématiques, familièrement appelées « les maths », elles se composent de deux branches qui sont indissociables l’une de l’autre. On parle de l’algèbre et de la géométrie.
Nous allons nous focaliser sur la géométrie, qui enseigne essentiellement les figures géométriques comme le carré, le rectangle, le cercle, le losange etc. Celle-ci nous apprend les propriétés géométriques d’une figure donnée , nous allons découvrir le losange ainsi que les méthodes de calcul d’aire d’un losange.
Définition d’un losange
Un losange, anciennement appelé « un rhombe » un mot venu du grec. Pour qualifier une figure qui a une forme de losange, on dit figure rhombique. C’est une figure géométrique quadrilatère, c’est-à-dire ayant 4 cotés. Elle possède deux cotés consécutifs qui ont la même dimension et qui sont parallèles.
Un losange est donc un parallélogramme dont les angles ne sont pas droits.il à deux cotés consécutifs parallèles et égaux. Pour distinguer un losange des autres figures géométriques quadrilatères, il y a un ensemble de propriétés qui doivent se concrétiser. Pour mieux connaitre le losange, nous présentons dans ce qui suit les caractéristiques fondamentales.
Quelles sont les propriétés du losange ?
Un losange ABCD étant défini comme un parallélogramme, il a les propriétés suivantes :
- Un parallélogramme veut dire ses segments consécutifs sont parallèles.
- Les angles opposés du losange ont les mêmes mesures, et ses angles consécutifs sont supplémentaires, « c’est-à-dire ils ont 180° ».
- Les diagonales d’un losange s’interceptent au niveau de leurs milieux et elles sont perpendiculaires.
- Les axes de symétrie du losange sont ses diagonales, et son centre de symétrie est le point d’intersection de celles-ci.
- Quand un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur, alors celui-ci est un losange.
- Dans le cas où un quadrilatère a 4 côtés de même longueur, alors celui-là est un losange.
Comment calculer l’aire d’un losange ?
Parmi les diverses grandeurs qu’on retrouve en mathématiques « l’aire ». L’aire est utilisée sur les figures géométriques planes et tridimensionnelles dans l’espace. Cette grandeur a évolué dans le temps pour être indispensable dans le domaine de l’agriculture, et ce pour le calcul des superficies des terrains agricoles. L’aire est aussi nommée superficie.
L’unité internationale de mesure de l’aire est mètre ² ou bien mm², cm², dm² etc. Elle représente la mesure de la partie intérieure délimitée d’un aspect géométrique donné. Ainsi, les formules mathématiques définissants les aires sont distinctes pour chaque figure géométrique plane. Nous allons découvrir l’aire d’un losange.
Application numérique :
Soit un losange ABCD, [AC]=3 et [BD]=2. Calculez l’aire ?
La formule de l’aire du losange est : (d1xd2 )/2 = 3×2/2=3 cm².
Un losange est un parallélogramme auquel la formule de l’aire est le produit de ses deux diagonales divisé par deux. Mais il y a d’autres façons de déterminer son aire. On en dénombre 3 méthodes, l’une à la base des diagonales, en utilisant la hauteur et la base et l’autre par la trigonométrie. Les voici en détails.
Calcul de l’aire du losange à partir de la hauteur
L’aire du losange est le produit de la base fois la hauteur.
Aire du losange = Base x Hauteur
Application numérique :
Calculez l’aire du losange ABCD, sachant que sa base est=7cm et sa hauteur=10cm
Aire du losange= base x hauteur = 7 x 10 = 70 cm².
Calcul de l’aire du losange en utilisant les diagonales
Application numérique 1 :
Soit un losange ABCD ayant deux diagonales AC=5 et BD=2. Calculez son aire ?
Aire losange= d1xd2/2= [AC] x [BD] /2 = 5 x 2 /2= 5cm².
Application numérique 2 :
Soit un losange ABCD ayant deux diagonales AC=3 et BD=1. Calculez son aire ?
Aire losange= d1xd2/2= [AC] x [BD] /2 = 3x 1 /2= 1.5cm².
Calcul de l’aire du losange en utilisant la trigonométrie
Comparant aux autres méthodes, celle-ci est un peu complexe, car on devra faire appel à la trigonométrie. (Rappel : il faut savoir que les quatre côtés d’un losange sont égaux).On prend la dimension d’un côté du losange, soit un losange ABCD ayant le coté [AB] = 2 cm.
La première étape est d’élever le coté au carré, c’est-à-dire [AB] ²=2²=4. La deuxième étape c’est de prendre l’un des angles qui délimite le segment [AB], dans notre cas c’est 33° ou 147°. Et de le multiplier par le Sinus. On aura donc, Sinus (33°) x [AB] ²= sin 33° x 4 = 2.18 cm² ou Sinus (147°) x [AB] ²= sin 147° x 4 = 2.18 cm².
Méthode de construction d’un losange
Il y deux méthodes distinctes de construire un losange.
Première méthode : à base des deux côtés
Sachant que les 4 côtés du losange sont égaux. Soit un losange ABCD de 4cm. On trace deux cotés [AB] et [BC] de 4cm. Ensuite on ouvre le compas avec une mesure de 4 cm, on le place sur le point C et on dessine un arc. On le place sur le point A et on dessine un deuxième arc. L’intersection des deux arcs forme le Point D. Il reste qu’à tracer les segments [AD] et [CD] pour avoir le losange ABCD.
Seconde méthode : à base des deux diagonales
Sachant que les 2 diagonales d’un losange sont perpendiculaires. Soit deux diagonales d1=5 cm d2=3cm d’un losange ABCD. On trace un segment [AC]=3cm et on fixe son milieu O. Ensuite, à partir du point O, on trace un segment [DB] perpendiculaire à AC, de sorte que [OD] et [OB]=2.5cm. Il reste plus qu’à relier les points ABDC, pour avoir notre figure rhombique.
