Aire-parallélogramme

Aire parallélogramme

 

Parmi les premières disciplines apparues dans le monde, les mathématiques. Elles naissent aux environs de 2000 ans avant Jésus christ. On parle de précurseurs mathématiciens très connus, il s’agit de Pythagore, Thalès, Euclide etc. Les mathématiques que nous appelons quotidiennement « les maths », elles sont formées de deux branches : la géométrie et l’algèbre.

Nous allons aborder la géométrie euclidienne, qui traite principalement les figures géométriques planes et tridimensionnelles. Cela en abordant la grandeur mathématique de l’aire appliquée sur la figure plane du parallélogramme, une figure géométrique qui a des caractéristique et propriétés spécifiques. Allons les découvrir.

Définition d’un parallélogramme

Au sens de la « géométrie affine » qui une géométrie qui enseigne les règles d’alignement, de perpendicularité de parallélisme etc. Un quadrilatère ABCD (figure ayant 4 cotés) est seulement parallélogramme quand il satisfait à la condition suivante : le vecteur AB est égale au vecteur DC et le vecteur AD est égal au vecteur BC. Ainsi, que les quatre sommets sont trois à trois non alignés, par conséquent AB est parallèle à CD et AD est parallèle à BC. Au sens de la géométrie euclidienne, un parallélogramme est un quadrilatère auquel les côtés opposé sont égaux deux à deux. Ses angles opposés sont égaux deux à deux, et ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux.

Quelques propriétés d’un parallélogramme

Quelques propriétés d'un parallélogrammeOn dit d’une figure géométrique ayant quatre cotés « un parallélogramme » si elle répond aux propriétés suivantes, soit ABCD un parallélogramme :

  • Ses deux diagonales AC et BD s’interceptent au milieu.
  • Le point d’intersection des diagonales AC et BD constitue le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
  • La notion de l’identité du parallélogramme : c’est une règle mathématique propre au parallélogramme. Elle dit que la somme des carrés des quatre côtés d’un parallélogramme AB, BC, CD et AD est égale à la somme des carrés de ses diagonales AC et BD, on écrit : AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2).

Calculer l’aire du parallélogramme

L’aire d’un parallélogramme est complètement différente de celle du rectangle, donc pour un parallélogramme ABCD, il est faux de calculer l’aire par le produit de la longueur fois la largeur. Il faudrait suivre une autre méthode, qui est composée de quelques étapes.

Calculer l'aire du parallélogrammePour le même parallélogramme ABCD, il faut d’abord chercher la hauteur. Celle-ci est représentée par le segment DF qui démarre du sommet D et perpendiculaire sur le côté AB et CD, car AB // CD.  (Il est aussi possible de chercher la hauteur H2 des cotés BC et AD sachant que H1 ≠ H2.) En traçant les deux hauteurs [DF] et [CE] du segment AB, on aura deux triangles rectangles. Le premier AFD à l’intérieur du parallélogramme et le deuxième BEC à l’extérieur.

Désormais, l’aire du parallélogramme ABCD est égale à l’aire du rectangle FECD. On écrit : aire du parallélogramme ABCD= aire de FECD= AB x DF. On déduit que la superficie d’un parallélogramme est le produit de la hauteur fois la base, on écrit : aire du parallélogramme ABCD = hauteur x base. (Afin de trouver la valeur de la hauteur DF, on utilise la loi de Pythagore sur le triangle rectangle).

Comment calculer l’aire du parallélogramme sans sa hauteur ?

Il est possible que vous tombiez sur un exercice où on vous demandera de calculer l’aire d’un parallélogramme sans fournir sa hauteur, c’est-à-dire une hauteur = x. Dans ce cas, il faudrait tracer la hauteur de n’importe quel côté, qui va couper un sommet et se projeter perpendiculairement sur le côté opposé.

Ensuite, pour obtenir la valeur algébrique de cette hauteur, il faudrait utiliser la règle de Pythagore sur le triangle rectangle. Enfin, il y lieu d’appliquer tout simplement la formule du parallélogramme qui est égale à la base multiplié par la hauteur.

Comment calculer l’aire de parallélogramme avec un angle et les longueurs des côtés

Pour pouvoir calculer l’aire d’un parallélogramme en ayant comme donné uniquement la dimension de ses cotés et la mesure d’un seul angle, c’est simple !

En fait, en ayant la mesure d’un angle donné on pourra déduire la mesure de l’angle consécutif, en se référant à la propriété qui dit : les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires deux à deux, c’est-à-dire leur somme forme 180°. Il faut donc soustraire l’angle donné à 180° et obtenir la mesure de l’angle consécutif. En connaissant la dimension des angles et des côtés du parallélogramme, il est possible de le tracer et d’appliquer la loi de l’aire à la lettre.

Exemple de calcul de l’aire d’un parallélogramme

Soit un parallélogramme ABCD, de base CD= 5 cm et de hauteur = 2 cm. Calculez son aire.

L’aire du parallélogramme = base x hauteur = AB x h. Application numérique = 5 x 2 = 10 cm²

Soit un parallélogramme EFGH, de base GH= 10 cm et de hauteur = 5 cm. Calculez son aire.
L’aire du parallélogramme = base x hauteur = GH x h. Application numérique = 10 x 2 = 50 cm².