Calculer l’aire d’un triangle

Formule : [Base] × [Hauteur] ÷ 2 = [Résultat]

Désormais, vous n’avez plus besoin de perdre du temps en faisant un long calcul avant de pouvoir connaître l’aire d’un triangle. Grâce à notre calculateur, vous pouvez obtenir le bon résultat en un tour de main. Toutefois, vous n’avez absolument rien à perdre à connaître les méthodes de calcul utilisées pour calculer l’aire d’un triangle. En effet, il est toujours préférable de savoir que de rester dans l’ignorance. C’est pour cette raison que nous avons rédigé cet article. Nous allons vous présenter dans ces quelques paragraphes tout ce dont vous avez besoin de connaître pour faire vous-même l’opération.

Définition du triangle

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Le triangle est une figure géométrique. Par définition, c’est un polygone qui possède trois côtés. Par conséquent, il doit aussi avoir trois angles. La somme de ces derniers doit être égale à 180°. Pour pouvoir faire le calcul de l’aire d’un triangle, il faut d’abord connaître la mesure de sa base ainsi que de sa hauteur. La base d’un triangle représente l’un de ses côtés. La hauteur, quant à elle, est chacune des trois droites qui passe par l’un des sommets du triangle et qui est perpendiculaire au côté du sommet concerné (c’est-à-dire perpendiculaire à la base).

1 – Zoom sur les différents types de triangles

Rappelons tout d’abord qu’un triangle est constitué par trois côtés et trois angles. Cela signifie alors qu’il doit avoir trois sommets. Un triangle dont les sommets sont A, B et C peut alors être représenté par : ΔABC. On distingue différentes sortes de triangles. Ils peuvent être catégorisés de deux manières différentes: soit par la propriété de ses côtés, soit par la propriété de ses angles.

Le triangle scalène

On reconnaît un triangle scalène par ses trois côtés qui sont tous de longueurs différentes. Cette forme de triangle peut être constituée de trois angles différents. Aussi, l’un de ces derniers peut être un angle droit (ou un angle de 90°). En général, on utilise l’appellation « triangle quelconque » pour le triangle scalène.

Le triangle isocèle

On dit qu’un triangle est isocèle lorsqu’il possède deux côtés qui sont de mêmes longueurs et deux angles égaux. On le reconnaît également par le fait que sa hauteur représente également son axe de symétrie, sa médiane, sa médiatrice ainsi que sa bissectrice.

Le triangle rectangle

Un triangle rectangle possède obligatoirement un angle droit. Autrement dit, la somme de ses deux autres angles doit être égale à 90°. Un triangle rectangle possède également une hypoténuse.

C’est le côté opposé du sommet de l’angle droit. Un triangle rectangle peut être scalène (ou quelconque) lorsque ses trois côtés ont différentes longueurs. Aussi, il peut être isocèle dans le cas où il possède deux côtés isométriques et l’angle de l’un de ses sommets un angle droit.

Le triangle équilatéral

Un triangle est dit équilatéral lorsqu’il possède trois côtés qui sont tous de même longueur. Par conséquent, tous ses angles sont aussi égaux et mesurent chacun 60°. Dans un triangle équilatéral, la hauteur fait également office de médiane, de médiatrice ainsi que bissectrice.

2 – Les différents types de triangles en fonction de la propriété de ses angles

Les triangles ne se distinguent pas uniquement par la longueur de ses côtés. classifier les triangles en fonction de la formation de ses angles. En effet, un triangle qui possède un angle droit est forcément un triangle rectangle. Un triangle qui possède un angle obtus est un obtusangle. Un triangle isocèle et un triangle quelconque peuvent alors faire partie de cette catégorie. Pour finir, un triangle qui dispose de trois angles aigus est appelé triangle acutangle. Autrement dit, le triangle acutangle est une autre appellation qu’on peut utiliser pour dire le triangle équilatéral. Il est à noter que tous les triangles qui ne possèdent pas d’angle droit sont des triangles obliques.

3 – Caractéristiques communes de tous les types de triangles

La somme des trois angles qui constituent un triangle doit être égale à 180°. Autrement dit, elle doit être égale à deux angles droits. Cela signifie donc qu’un triangle dispose toujours de deux angles aigus. Aussi, la somme des longueurs de ses deux côtés est forcément supérieure à la longueur de son troisième côté. Ce qui implique également que la différence des longueurs de ses deux côtés est forcément inférieure à la longueur de son troisième côté.

Pour finir, le plus grand angle qui constitue ce polygone à trois côtés s’oppose toujours à son côté le plus long.

Comment calculer l’aire d’un triangle ?

Pour rappel, l’aire représente une surface. Il s’agit d’un nombre qu’on détermine afin de donner une valeur exacte à la taille de la surface concernée. D’une manière générale, on utilise des formules pour faire le calcul de l’aire des différentes formes géométriques. Pour calculer l’aire d’un triangle, il existe différentes méthodes. Toutefois, la formule de base qui peut être appliquée pour tous les types de triangles est : À = (L x h) : 2. Dans cette formule, A représenté l’aire du triangle, « L » (en majuscule) la longueur de la base et « h » (en minuscule) la hauteur. La diversité des méthodes dépendra, par la suite, du type de triangle sur lequel le calcul devra se porter.

Calcul de l’aire d’un triangle quelconque, isocèle et équilatéral

Pour ces trois types de triangles, il est possible d’appliquer la formule qui a été précédemment citée. Mais avant d’entrer dans le calcul proprement dit, il est possible d’expliquer la formule à partir d’une logique très simple.
En effet, il est possible de décomposer l’un de ces triangles une fois qu’on a tracé leur hauteur. À partir de ce repère donc, on peut obtenir deux triangles rectangles bien distincts.

Cela signifie que l’aire totale du triangle initial est égale à la somme de l’aire des deux triangles résultant de la décomposition. Si on reprend le principe de la formule de base A = (L x h) : 2, on obtient alors :

A = [ (L1 x h) : 2 ] + [ (L2 x h) : 2 ]

Si on factorise par « h », la formule devient :

A = [ (L1 + L2) x h ] : 2

Or, la longueur initiale du triangle est égale à la somme de la longueur des bases des deux triangles rectangles.

D’où : L = L1 + L2

Ce qui nous ramène à la formule de départ A = (L x h) : 2

Exemple :

Pour mieux comprendre la formule, nous allons prendre un exemple concret. Supposons alors que la longueur du triangle est égale à 8 cm et que sa hauteur est égale à 7 cm. Pour calculer l’aire, il suffit de remplacer les valeurs littérales de la formule par les valeurs numériques. Ce qui nous donne :

A = (L x h) : 2
A = (8 x 7) : 2
A = 56 : 2
A = 28

Il ne faut pas oublier d’utiliser la bonne unité de mesure élevée au carré pour exprimer la valeur de l’aire du triangle. Puisque l’unité de mesure utilisée dans notre exemple est le centimètre, l’aire du triangle doit alors être exprimée en centimètre carré. D’où : A = 28 cm².

Calcul de l’aire d’un triangle rectangle

Il est possible de définir l’aire d’un triangle rectangle à partir de trois méthodes. La première consiste à appliquer directement la formule de base. La seconde consiste à passer par la formule de l’aire d’un rectangle. La dernière, quant à elle, consiste à trouver la valeur de l’aire du triangle en passant par le théorème de Pythagore. Nous n’allons plus trainer sur les détails de la première méthode. En effet, le principe est le même que celui que nous venons d’énoncer plus haut. Nous allons donc passer directement aux détails des deux autres méthodes.

Utilisation de la formule de l’aire d’un rectangle

Par extension, un triangle rectangle est la moitié d’un rectangle. Autrement dit, un rectangle est composé de deux triangles rectangles. En effet, la diagonale qui partage le rectangle en deux représente l’hypoténuse des deux triangles rectangles qui le constitue.
De ce fait, il est tout à fait possible de déterminer la valeur de l’aire d’un triangle rectangle à partir de l’aire d’un rectangle. Il ne reste plus alors qu’à diviser le résultat obtenu en deux.

La formule qui permet de calculer l’aire d’un rectangle est : A_rectangle = L x l. La lettre « L » (en majuscule) représente la longueur du rectangle. Elle équivaut à la base (L) du triangle. La lettre « l » (en minuscule) représente, quant à lui, la largeur du rectangle. Elle équivaut également à la hauteur (h) du triangle. L’aire d’un triangle est alors A = [(L x l)] : 2

Exemple :

Pour avoir une meilleure compréhension de cette formule, nous allons l’illustrer par un exemple. Imaginons donc que nous avons un triangle ΔABC et qu’il est droit en C.
Nous connaissons que la longueur du côté BC est égale à 8 cm et que celle du côté AC est de 4 cm. Nous comprenons donc par-là que la longueur du rectangle qu’on peut obtenir à partir de notre schéma est égale à 8 cm et que sa largeur est de 4 cm.

On obtient alors le calcul suivant :

A_rectangle = L x l
A_rectangle = 8 cm x 4 cm
A_rectangle = 32 cm²

D’où, l’aire du triangle est égale à :

A = A_rectangle: 2
A = 16 cm²

Utilisation du théorème de Pythagore

Il est parfois possible qu’on ne connaisse que la longueur de la base du triangle rectangle et de celle de son hypoténuse. Dans ce cas, il va encore falloir qu’on trouve la mesure de la hauteur. Pour ce faire, on fait appel au théorème de Pythagore dont le principe est le suivant. Dans n’importe quel triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est toujours égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

Sinon, il existe une formulation très facile écrite par Euclide : « le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ». Si on écrit ses définitions sous forme de formule, on obtient : c² = a² + b² (ou c représente l’hypoténuse, b la base et a la hauteur)

Pour déterminer la mesure de la hauteur au carré, on effectue le calcul suivant : a² = c² – b². D’où la hauteur est égale à √a.
On peut désormais revenir à la formule de base de l’aire d’un triangle.

Exemple :

Illustrons ces explications théoriques pour mieux cerner le déroulement de l’opération. Supposons alors que nous avons un triangle rectangle dont l’hypoténuse est égale à 10 cm et la base est égale à 6 cm.
Pour connaître sa hauteur donc, nous allons remplacer les valeurs littérales du théorème de Pythagore. Ce qui nous donne :