Produit-en-croix

Produit en croix

CALCULER UN PRODUIT EN CROIX


Apprendre et comprendre le principe du produit en croix

On utilise plus le terme « règle de trois » lorsqu’on parle de « produit en croix » dans les enseignements primaires. Il s’agit d’une logique mathématique qui permet de résoudre divers problèmes de proportionnalité.

produit en croix - principe

Contrairement à la plupart des calculs mathématiques, son utilité dans la vie quotidienne et professionnelle est assez appréciable.

Dès lors, on n’a plus à se poser la question fameuse question embarrassante : A quoi la connaissance de ce principe pourrait me servir plus tard ? Après avoir lu cet article, vous pourrez vérifier par vous-même la véracité de cette allégation.

Le produit en croix : c’est quoi ?

D’un point de vue global, le produit en croix est une règle de proportionnalité qui implique trois nombres pour pouvoir déterminer un quatrième nombre. Ce dernier peut alors être appelé « quatrième proportionnelle ».

produit en croix - c’est quoi

Autrement dit, il est possible de trouver le quatrième nombre (noté d) à partir de trois nombres proportionnels (noté a, b et c). Grâce à l’égalité des produits en croix donc, on peut obtenir un résultat de sorte que « a » soit proportionnel à « b » et que « c » soit proportionnel à « d ».

La détermination de ce dernier peut alors se faire en appliquant la formule suivante : d = (b x c) : a.

Utilisation du produit en croix au quotidien.

Il est possible de recourir à cette méthode dans le but de résoudre différentes sortes de problèmes de proportionnalité. En économie domestique, elle permet par exemple de déterminer le prix qu’il faut payer pour un produit quelconque en fonction de son poids. Dans les laboratoires, elle permet de résoudre les problèmes relatifs au dosage.

En matière de cartographie, elle permet de définir les distances sur la carte, proportionnellement aux distances sur le terrain. Outre cela, elle permet également de définir la distance parcourue en fonction du temps et à une vitesse constante. Aussi, on a souvent recours au produit en croix lorsqu’on a besoin de faire des calculs de pourcentages. On peut donc dire que l’application de cette méthode se révèle assez pratique dans diverses situations et dans des domaines très variés.

Démonstrations et explications du principe du produit en croix

L’application du produit en croix n’est pas du tout difficile. En effet, le plus important c’est d’être capable de suivre un raisonnement logique. Toutefois, nous allons commencer par illustrer l’utilisation du principe par quelques exemples concrets. Cela nous permettra d’avoir une idée plus claire sur la méthode que nous allons énoncer plus bas.

Quelques exemples illustratifs

Exemple n°1

Si un kilo de pomme vaut 5 euros, quel sera le prix pour 2,5 kilos de ce même fruit ?
Pour connaître la solution, on effectue l’opération suivante :
le prix de 2,5 kilos de pomme est égal à (2,5 x 5) : 1

Ce qui nous donne 12,5
D’où, le prix de 2,5 kilos de pomme est 12,5 euros.

Exemple n°2

Si 10 paires de chaussettes coutent 35 euros, combien vaut une paire ?
Le calcul à faire est semblable à celui du premier problème. Il n’y a que les chiffres qui changent.
Le prix d’une paire de chaussettes est donc égal à (1 x 25) : 10
Ce qui nous donne 3,5
Une paire de chaussettes coute alors 3,5 euros.

Exemple n°3

On dispose d’un plan. On voit sur l’échelle de ce plan que 2 cm sur la carte équivaut à 15 km de distance sur le terrain. Sur la même carte, on sait que la distance (à vol d’oiseau) entre ces deux villes est égale à 16,4 cm. Quelle sera donc la distance réelle entre les deux villes (à vol d’oiseau) ?

  • Le principe reste toujours le même pour trouver la solution de ce problème.

À vol d’oiseau, la distance des deux villes est égale à (16,4 x 15 ) : 2

Ce qui nous donne : 123

Sur terrain, la distance entre les deux villes à vol d’oiseau est égale à 123 kilomètres.

Fonctionnement du produit en croix

L’utilisation du tableau de proportionnalité est la technique qu’on utilise pour représenter le produit de croix. Il s’agit d’un tableau qui est composé de quatre cases, en plus des deux cases des termes. Pour faire simple, le produit des termes qui se trouvent dans une diagonale est égal au produit des termes qui se trouvent dans l’autre diagonale.

(a x d ) = (c x b)

Puisqu’on cherche à connaître la valeur de « d », on obtient alors :

d = (c x b) : a

Le tableau de proportionnalité est alors présenté sous ces formes :

Terme 1Terme 2
ab
cd

Ou encore

Terme 1ab
Terme 2cd
Illustration par des exemples

Reprenons notre exemple sur le prix de la pomme pour illustrer le premier tableau.

Masse en kgPrix en euro
15
2,5d

On reprend donc la formule précédemment énoncée pour trouver le prix de 2,5 kilos de pommes. Ce qui nous ramène à l’opération que nous avons déjà détaillée plus haut.

  • d = (2,5 x 5) : 1

Le prix de 2,5 kilos de pommes est 12,5 euros.

Pour le second tableau, reprenons l’exemple sur la distance réelle entre les deux villes.

Distances sur la carte (en cm)212,2
Distance sur le terrain (en km)15d

Tout comme pour le premier tableau, on revient sur notre formule de base qui est :

  • d = (15 x 12,2) : 2

La distance des deux villes est égale à 123 kilomètres

Remarques importantes sur l’utilisation des nombres entiers avec le produit en croix

Le produit en croix est une règle de proportionnalité qui ne peut être appliquée que sur des quantités morcelables. Il peut s’agir de nombres décimaux, de nombres fractionnaires ou encore de nombres réels. Par exemple, le nombre de pots de peinture qu’on doit acheter pour peindre les murs d’une salle de classe ne peut pas être divisé en plusieurs portions en fonction de la quantité d’argent dont on dispose. En effet, il va falloir qu’on arrondisse le résultat obtenu via le produit en croix (par excès ou par défaut) en fonction de la logique du problème.

Exemple

Si on peut réaliser 11 colliers identiques (de la même taille) à partir de 560 pièces de perles, combien de colliers peut-on réaliser si on dispose de 9000 de ces perles ?

Dans ce cas, le produit en croix n’est pas adapté, car il se pourrait que le résultat obtenu soit en nombre décimal. Or, il n’est pas possible de fractionner ni les perles ni les colliers.

En effet, si on procède à l’opération, on obtiendra le résultat suivant :

Nombres de perles Nombres de colliers
l’utilisation des nombres entiers avec le produit en croix560 11
9000 d

Ce qui nous donne : d = (c x b) : a

  • d = (9000 x 11) : 560
  • d = 99000 : 560
  • d = 176,78571428…

Or, si on arrondit le résultat, on obtiendra 177 colliers.

Pourtant, nous n’obtiendrons pas le vrai nombre de colliers identiques réalisés si on se fit le résultat. Autrement dit, la réponse est fausse.

Pour conclure donc, tous les problèmes de proportionnalités ne peuvent pas être résolus avec le produit en croix. Il existe d’autres règles de proportionnalités qui permettent d’obtenir un résultat plus exact selon chaque cas.