Volume-cône

Volume cône

 

Les mathématiques naquissent dans un temps très ancien, leur existence remonte aux entours de 2000 ans avant jésus christ. Cette discipline est constituée de nombreuses branches à savoir l’algèbre, géométrie, analyse etc.  C’est une science qui est fortement liée à la physique, car à travers les formules mathématiques que le domaine de la physique s’est promu.

Quand on parle d’un volume, il s’agit d’une une grandeur mathématique géométrique et physique en même temps. La physique considère cette grandeur comme une extension d’un solide dans les trois directions de l’espace. C’est pour cela, qu’on cherche à découvrir qu’est-ce qu’un volume en mathématique, particulièrement le volume d’un cône ?

Définir un cône

La définition générique du « cône » dit : c’est une figure tridimensionnelle qui est déterminée par une droite qu’on appelle la génératrice, qui intercepte un point fixe situé dans l’espace qu’on appelle « sommet du cône ».Elle dessine une courbe qu’on appelle la courbe directrice. On parle aussi dans ce cas de surface conique.

Pour définir la hauteur du cône, il faut projeter orthogonalement le sommet sur la base du cône. Il y a de différents types de cônes, à savoir le cône de révolution, le cône pyramidal, le cône quelconque. Chacun possède des propriétés géométriques bien précises, que nous allons découvrir ci-dessous.

Le cône de révolution

Le cône de révolutionUn cône de révolution qu’on appelle également un cône circulaire, il se définie comme étant un solide générée par la révolution d’une droite sécante à un axe fixe autour de ce dernier. Sachant qu’un solide de révolution en géométrie est résulté par une rotation d’une surface plane autour d’un axe fixe nommé l’axe de révolution

On appelle la partie du cône qui se situe entre deux plans parallèles qui interceptent un cône verticalement : le tronc de cône. La base du cône est comme son nom l’indique : la surface plane inférieure, et sa hauteur est le segment perpendiculaire à la base sécant au sommet.

Le cône tronqué

Le cône tronquéLe mot « tronquer » signifie enlever une partie ou couper. Le cône tronqué est un cône qui a subi une coupure à l’aide d’un plan qui est parallèle à sa base. Cette coupure résulte deux solides, un cône qui a un sommet qui peut être considéré comme un cône de révolution ou le cône original, et un cône tronqué qui n’a pas de sommet.

Le cône tronqué possède donc une base inférieure B1, une base supérieure B2, mais il n’a pas de sommet, ses deux bases sont différentes de surfaces. Sa hauteur est le segment qui relie le centre de la base inférieure et la base supérieure.

Qu’est-ce qu’un volume ?

On retrouve le volume dans le domaine de physique et celui des mathématiques. La physique le décrit comme l’espace qu’occupe un objet liquide, gazeux ou solide dans l’espace. Par contre les maths et particulièrement la géométrie le décrit comme une partie de l’espace géométrique tridimensionnel. La grandeur du volume se mesure en mètre cube (m³) ou en litre (l).Nous allons nous intéresser au volume de la figure géométrique du cône, et comment le calculer.

Calcul du volume d’un cône

Pour mesurer la grandeur du volume sur les figures géométriques tridimensionnelles, il faut se référer à une astuce qui les classifie comme solides pointus et solide non pointus. Le volume des solides non pointus est le produit de la base fois la hauteur. Par contre, les solides pointus comme « le cône », le volume est calculé en divisant la base sur 3 et en multipliant fois la hauteur. Nous allons traiter cela profondément ci-contre.

Le cône de révolution

Pour effectuer le calcul du volume d’un cône, il faut établir la formule qui multiplie un tiers 1/3 de l’aire de sa base à la hauteur totale du cône (h).On écrit pour simplifier : le volume du cône =1/3 base x hauteur du cône.

Dans le cas où la base du cône est un disque de rayon R, Il s’agit donc du cône de révolution. Il faut d’abord calculer l’aire de la base comme suit: aire de base circulaire = π × R². A partir de la première formule, on déduit :

Le volume du cône de révolution = 1/3 π × R² x h.

Le cône tronqué

Pour effectuer le calcul du volume d’un cône tronqué sachant qu’il possède deux bases, il faut suivre les étapes suivantes. Tout d’abord, il faut définir les rayons des deux bases, la base inférieure et la base supérieure, Il s’agit du rayon R1 et rayon R2 qu’on éleva au carré. Ensuite, on additionne (R1)²+ (R2)²+ (R1) et on multiplie cette somme fois R2. Désormais, il reste qu’à définir la hauteur et de multiplier la formule précédente fois la hauteur et fois 1/3 π.

Pour récapituler, la formule du volume d’un cône tronqué = π/(3 ) [(R1)²x (R2)²+ (R1) + (R2)] x h.

Exemples de calcul du volume d’un cône

calcul du volume d’un cône

Soit un cône de révolution de Rayon R= 2 cm, et de hauteur h= 5 cm. Calculez son volume.

Le volume du cône de révolution = 1/3 π × R² x h.
Application numérique : le volume du cône de révolution= 1/3 x 3.14 x 2² x 5 = 20.93 cm³.

Soit un cône tronqué, ayant une base 1 de rayon R1= 5 cm et une base 2 de rayon R2= 3 cm, il a une hauteur de 7 cm. Calculez le volume de cône tronqué.

La formule du volume d’un cône tronqué = π/3 x [(R1)²+ (R2)²x (R1) + (R2)] x h.
Application numérique : 3.14/3 x [5² x 3²+ 5 + 3] x 3= 359.19 cm³.