Volume-pyramide

Volume pyramide

 

Les mathématiques ont existé depuis la nuit du temps, leur apparition remonte aux environs de 2 millénaires avant jésus christ. Elles se composent de plusieurs branches à savoir l’algèbre, géométrie, analyse etc.  La discipline mathématique tisse un lien très fort avec la physique, car à travers les notions mathématiques que les connaissances physiques ont développé.

En effet, le volume est à la fois une grandeur mathématique géométrique et physique. En physique, le volume a une extension dans les trois directions de l’espace. Nous allons découvrir les propriétés volumiques en géométrie, et ce pour une pyramide.

Qu’est-ce qu’une pyramide ?

Le mot pyramide est relatif aux grands monuments Egyptiens « pyramide de Chéops ». En effet, Chéops est un roi de la quatrième dynastie, qui a construit la plus grande des pyramides, il y a six mille ans, comme tombeaux des pharaons.

Une pyramide est dotée d’une base rectangulaire en ayant 4 faces triangulaires qui se rencontrent au sommet. Ainsi, géométriquement parlant, le volume pyramidal est défini comme un volume ayant une base polygonale dont les faces latérales sont des triangles qui se croisent dans un même point appelé sommet de la pyramide. Sa hauteur est un segment qui intercepte le sommet et qui est perpendiculaire à la base.

Pyramides quelconques

Pyramides quelconques

Une pyramide quelconque est celle qui a une base polygonale (polygone irrégulier). Les arrêtes obliques de la base se rencontrent dans un point qui se situe à l’extérieur du plan, il s’agit du sommet. Les facettes de cette pyramide forment des triangles quelconques, Ainsi la hauteur est orthogonale a la base.

Pyramides régulières

Pyramides régulièresOn dit d’une pyramide régulière quand sa base est un polygone régulier. Les polygones réguliers sont les figures géométriques qui ont des cotés égaux à savoir (triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone etc.).

La hauteur de la pyramide régulière appelée apothème passe par le centre de la base, ainsi ses faces latérales forment des triangles isocèles dont les arrêtes sont égales, obliques, et se rejoignent au sommet.

Tétraèdre

TétraèdreParmi les typologies des pyramides le tétraèdre. C’est en fait une pyramide ayant une base triangulaire. On dit d’un tétraèdre régulier, si ses faces latérales sont des triangles équilatéraux isométriques. Ses 4 faces triangulaires ont 6 arrêtes obliques qui forment 4 sommets.

Un tétraèdre trirectangle est celui qui dispose trois angles de 90°. Il peut se former à partir d’un cube ou d’un prisme rectangulaire.

Comment calculer le volume d’une pyramide ?

Le volume une grandeur physique et mathématique qui sert à mesurer l’importance d’un objet dans l’espace, sa formule standard est le produit de la surface fois la hauteur. L’unité de mesure du volume est le mètre cube (m³) ou litre (l). Afin de calculer le volume d’une pyramide dont la base est carrée, il faut d’abord calculer le tiers de la surface de la base multipliée par la hauteur de la pyramide,

Le volume d’une pyramide carré= 1/3 aire du carré x hauteur= (1 )/3 coté² x hauteur =(c² x H)/3.
Dans le cas où la hauteur est égale au côté, dans une pyramide à base carré, le volume est égale à =c3/3.

Volume d’une pyramide à base rectangulaire

Afin de calculer le volume de la pyramide à base rectangulaire, il y a lieu de suivre les méthodes suivantes :

Volume d'une pyramide à base rectangulaire

  • Premièrement, il faut déterminer les dimensions de la base rectangulaire, c’est-à-dire la dimension de la longueur et de largeur du rectangle (L et l).Car on s’en servira pour calculer l’aire de la base, qui est égale au produit de la longueur fois la largeur. Aire de base rectangulaire= L x l.
  • Deuxièmement, il faut simplement multiplier l’aire du rectangle fois la hauteur de la pyramide à base rectangulaire, on écrit : L x l x h.
  • Troisièmement, il faut diviser par 3 le produit de l’aire fois la hauteur, car la formule du volume d’une pyramide à base rectangulaire est le tiers du produit de l’aire de la base fois la hauteur.
 On écrit la formule d’une façon simplifiée :

Le volume de la pyramide à base rectangulaire =1/3 aire de base rectangulaire x hauetur= (L x l x h)/3.

Exemple d’application : calculez le volume de la pyramide à base rectangulaire sachant que la base (L=4cm, l=3cm) et sa hauteur =4cm ?
Le volume de la pyramide= 1/3 aire de base rectangulaire x hauteur= (L x l x h)/3=3 x 4 x 4/3=16 cm³.

Volume d’une pyramide à base triangulaire

Afin de calculer le volume de la pyramide à base rectangulaire, il y a lieu de suivre les méthodes suivantes :
Nous allons partir du principe que cette pyramide est de base triangle rectangle (à angle droit).

Volume d'une pyramide à base triangulaire

  • Premièrement, il faut déterminer les dimensions du triangle rectangle, c’est- à dire celles des cotés qui forment l’angle droit. Ceci-dit n on aura besoin de sa longueur (L) et largeur (l= ht ) du triangle.
    A partir de ces données, il est possible de calculer la surface du triangle de base =(L x ht)/2.
  • Ensuite, il faut chercher la hauteur de cette pyramide, autrement dit « l’apothème » qui est un segment orthogonal sur la base et passe par le sommet. On l’appelle Hp.
  • Enfin, on applique la loi du volume d’une pyramide à base triangle, qui est égal au tiers du produit de l’aire de la base fois la hauteur de la pyramide.

On simplifie la formule comme suit :

Volume de pyramide à base triangle=1/3 aire de base triangulaire x hateur de la pyramide=(aire triangle x Hp)/3.

Exemple : calculez le volume de la pyramide à base triangle, soit base = 9 cm² et Hp= 3.
Volume de pyramide à base triangle = (aire triangle x Hp)/3=9 x 3/3=9 cm³.

Quelques conseils pour calculer les volumes

Pour apprendre à calculer la grandeur du volume des solides dans l’espace, il y a une astuce de génie qu’il faut suivre. En effet, il faudrait classifier les solides en trois catégories : les pointus, les non pointus et la boule.
Pour le volume des solides non-pointus comme le cube, le parallélépipède, le prisme, le cylindre etc. Il faut savoir que le volume est toujours le produit de la surface de la base fois la hauteur. Volume du cube = coté² x hauteur, volume du cylindre= π R² x hauteur.

Pour les volumes des solides pointus comme le cône et la pyramide, la grandeur du volume est toujours le produit du tiers de l’aire de la base fois la hauteur. Volume de pyramide à base rectangle =( L x l x h)/3, volume du cône : (π R² h)/3.

Par contre pour calculer le volume d’une boule comme une sphère ou une demi-sphère, il faudrait apprendre les formules par cœur, vu qu’il n’y a pas de technique ingénieuse comme celles des solides pointus et non pointus. Volume d’une sphère=4/3 π R³.