Les mathématiques développées par des savants tels : Euclide, Platon, Pythagore, Thales etc. Elles font apparition dans un temps très lointain, approximativement en 2000 ans avant jésus christ. Les branches qui composent le champ d’étude mathématique sont diverses à savoir la géométrie, l’algèbre, analyse etc.
C’est une discipline qui est solidement attachée à la physique, à laquelle elle a fourni les connaissances de base. Un volume, est une grandeur retrouvée dans les deux domaines : physique et mathématiques. La physique observe cette grandeur comme une extension d’un gaz, slide ou liquide dans l’espace. Par contre, nous allons découvrir la définition du volume en mathématiques, et particulièrement celui de « la sphère ».
Qu’est-ce qu’une sphère ?
La réponse à la question « qu’est-ce qu’une sphère ? » il s’agit tout simplement d’une boule. La géométrie dans l’espace définit la sphère comme un champ de points qui ont tous la même dimension par rapport au centre de celle-ci. On appelle cette distance le rayon de la sphère.
La géométrie cartésienne définit une sphère de centre (x0, y0, z0) et de rayon R, comme les points (x, y z) qui forment : (x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)². Bien que ce soit connu que le globe terrestre ait une forme ellipsoïde, mais la géométrie sphérique la considère comme une sphère afin de simplifier ses études et ses calculs.
Quelles sont les propriétés de la sphère ?
- Tous les points qui se situent sur le champ de la sphère forment une distance par rapport au centre, on l’appelle: le rayon.
- La sphère qui a le point O comme centre et un rayon R, elle est constituée par l’ensemble des points M dans l’espace, qui assurent OM=R.
- L’aire d’une sphère de centre O et de rayon R, est donnée par la formule suivante : 4πR²
- Le volume d’une sphère de rayon R, est donné par la formule suivante : (4 )/3 πR³.
- Toutes les projections orthogonales d’une sphère sur un plan résultent un cercle.
Différence entre sphère et boule
Certes on utilise le mot boule pour qualifier une sphère ou un solide ayant cette forme, mais il faut savoir qu’une sphère et une boule sont différentes. Pour ce, nous allons établir un comparatif avec des point commun et la différence. Une sphère se limite à sa surface extérieure car elle est évidée à l’intérieur, contrairement à la boule qui est pleine à l’intérieur. La sphère de centre O et rayon R est composée par l’ensemble des points ayant la même distance R par rapport au centre O.
Par contre, une boule de centre O et de rayon O est composée par les points qui se situent dans un espace qui ne dépasse pas la dimension du rayon R. Il est possible de calculer le périmètre et l’aire de la sphère à partir du rayon, pendant qu’on peut même le volume à partir du rayon. Le point commun de la sphère et de la boule est leur forme arrondie.
Formule de calcul du volume d’une sphère avec le rayon
Afin de calculer le volume d’une sphère, il faut poursuivre les étapes suivantes :
Il faut d’abord déterminer le rayon (R) de la sphère. Si nous n’avons pas la valeur du rayon dans les données de l’exercice, nous pouvons obtenir le rayon au carré de la sphère en divisant son aire par 4π. On écrit : rayon de sphère =√(Aire/π4).
Exemple : soit une sphère de centre O et de rayon R= 5 cm. Calculez son volume.
Le volume = 4/3 πR³= 4/3 x( 3.14 x 5³)= 523 cm³.
Exemple : Soit une sphère d’aire = 64 cm². Calculez son volume.
Le rayon de la sphère =√(aire/4) π = √(64/(3.14x 4)) =2.5 cm
Le volume = 4/3 πR³=4/3 x (3.14 x 2.5³) =65 cm³.
Formule de calcul du volume d’une sphère avec le diamètre
Sachant que la connaissance du rayon est fondamentale pour calculer le volume de la sphère dont la formule est la suivante : volume = ¾ πR³. Mais, il est possible de le déduire à partir du diamètre, vu que le diamètre est égale à deux fois le rayon : D= 2R.
Exemple : Soit une sphère de diamètre D = 4 cm, calculez son volume.
D= 2R le rayon est égale R= D/2 donc R=4/2 = 2 cm.
Le volume = 4/3 πR³= 4/3 x( 3.14 x 2³) = 33.49 cm³.
Comment calculer le volume d’une demi-sphère ?
Une demi-sphère est la moitié d’une sphère, par conséquent, pour calculer le volume de la demi-sphère, il suffit de diviser le volume de la sphère par deux. Etant donné que le volume d’une sphère est égale à quatre tiers multiplié par Pi π (3.14) multiplié par le rayon puissance trois.
La formule s’écrit comme suit : Le volume de cette sphère= ¾ πR³. Pour obtenir le volume de la demi-sphère, on procède comme suit :1/2 x 3/4 πR³ = 3/8 πR³.
Dans le cas où l’exercice vous donne la valeur du volume de la sphère en vous demandant de calculer le volume de la demi-sphère, exemple :
Soit une sphère de volume = 50 cm³, calculez le volume de la demi-sphère.
Le volume de la demi-sphère = volume/2 = 50/2 = 25 cm³.